Учебное пособие для студентов техническихспециальностей "МЕХАНИКА"

Работа добавлена на сайт HoTren.ru: 2015-07-04


 

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 


В.Л.Николаенко

 

 

 

 

МЕХАНИКА

 

 

В 2 частях

 

Часть 1

 

 

Допущено Министерством образования Республики Беларусь

в качестве учебного пособия для студентов технических

специальностей учреждений, обеспечивающих

получение высшего образования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минск 2006


УДК 621.01 (075.8)

Н 63

 

Под редакцией А.Т.Скойбеды

 

Рецензенты:

 

А.Н.Орда, В.М.Сурин

 

 

Н 63

Николаенко В.Л.

Механика: Учеб. пособие к семестровым заданиям для студ. немашиностроительных спец. вузов. В 2 ч. Ч. 1 / В.Л.Николаенко; Под ред. А.Т.Скойбеды. – Мн.: БНТУ, 2006. – 271 с.

 

ISBN 985-479.

 

Издание предназначено для студентов, изучающих курс механики. В пособии представлены задачи для самостоятельного решения и типовые примеры, знакомящие студентов с методикой решения задач, теоретические сведения.

Пособие может быть полезно лицам, изучающим механику самостоятельно или обучающимся на заочных отделениях вузов.

 

УДК 621.01 (075.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ISBN 985-479                                             © Николаенко В.Л., 2006

ISBN 985-479                                                  © БНТУ,2006


Оглавление

 

 

Номер решенного примера

Номер
задачи

 

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

4

Раздел I

СТАТИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Глава 1. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ (ПССС) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

5

1.1. Основные положения статики. . . . . . . . . . . . .

¾

¾

5

1.2. Определение усилий в стержнях фермы
по способу вырезания узлов. . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

13

 ?  Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

14

Примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-22

¾

17

Задачи к заданиям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

1-3

  56

Глава 2. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ. . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

  61

 ?  Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

63

Примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

23-49

¾

63

Задачи к заданиям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

4-6

93

Глава 3. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ (ПСПРС) . . .

¾

¾

97

3.1. Момент силы относительно точки. . . . . . . . . .

¾

¾

97

3.2. Равновесие твердых тел под действием ПСПРС. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

98

3.3. Статически определимые и статически
неопределимые задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

102

3.4. Определение усилий в стержнях по способу Риттера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

104

 ?  Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

106

Примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50-96

¾

107

Задачи к заданиям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

7-10

193

Глава 4. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ (ПрСС) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

199

4.1. Момент силы относительно оси. . . . . . . . . . . .

¾

¾

199

4.2. Приведение силы к центру. . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

200

4.3. Равновесие твердых тел под действием
пространственной системы сил. . . . . . . . . . . .

¾

¾

201

 ?  Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

202

Примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97-119

¾

203

Задачи к заданиям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

11-15

262

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¾

¾

270

Предисловие

 

Это пособие предназначено для студентов, изучающих курс механики по программе, утвержденной Министерством образования Республики Беларусь для высших учебных заведений.

В пособии кроме задач для самостоятельного решения и типовых примеров, знакомящих студентов с методикой решений задач, в каждой главе помещено краткое изложение теории и приведены вопросы для самопроверки.

На основании личного многолетнего опыта ведения занятий автор настоятельно рекомендует всем, начинающим изучать механику, следующий порядок работы:

1) изучить теорию соответствующего раздела по учебным пособиям, рекомендованным Министерством образования Республики Беларусь;

2) прочитать краткое изложение теории, приведенное в прорабатываемой главе сборника, и ответить на вопросы для самопроверки;

3) лично полностью проделать все подсчеты по примерам, решенным в данной главе, придерживаясь текста пособия;

4) приступить к систематическому решению задач – по указанию преподавателя или по личному выбору.

Издание могут использовать также лица, изучающие механику самостоятельно или обучающиеся на заочных отделениях в институтах, университетах, академиях.

Наличие в сборнике значительного числа задач облегчает выбор материала для семестровых, контрольных, домашних и экзаменационных заданий, в чем особенно нуждаются начинающие преподаватели.

Большинство задач, вошедших в книгу, составлено самим автором. Многие задачи рекомендованы ему его коллегами, некоторые публиковались ранее. Тематика и схемы некоторых типовых задач заимствованы из учебной литературы, список которой приведен в конце книги.

Автор стремился к тому, чтобы тексты условий задач были лаконичны, а большинство необходимых данных было указано на чертежах. Кроме того, наименования заданных и искомых величин во многих случаях заменены соответствующими буквенными обозначениями.

Автор считает своей обязанностью выразить благодарность А.Т.Скойбеде, оказавшему помощь в подборе и проверке задач, принявшему деятельное участие в подготовке книги. Автор будет также благодарен всем товарищам, которые не откажутся в дальнейшем высказать свои замечания об  этом сборнике задач. 

 

Раздел 1. СТАТИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

 

Глава 1. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ (ПССС)

 

1.1. Основные положения статики

 

Решение задач статики возможно лишь после того, как хорошо изучены аксиомы статики.

Аксиомы статики это основные положения, на которых основана теория равновесия. Они устанавливают основные свойства сил, приложенных к телу.

Особое внимание следует обратить на аксиому о равенстве сил действия и противодействия. Эта аксиома рассматривает взаимодействие двух сил. Сила действия приложена к одному телу, а сила противодействия к другому, поэтому они не могут уравновешиваться, так как эффект действия сил различен для каждого тела. На основании аксиомы о равенстве действия и противодействия опоры тел или, как говорят, их связи, можно заменить силами. Одной из важнейших задач при этом является умение правильно определить направление силы реакции опоры. Для этого нужно внимательно разобраться в устройстве той или иной опоры и схематически изобразить опорные поверхности.

Гибкая нерастяжимая нить (трос, канат, цепь, ремень). Реакции RA и RB направлены вдоль нити к точке подвеса (рис. 1.1).

 

рис1

рис1

Рис. 1.1. Реакции гибких нитей

Рис. 1.2. Реакции при шарнирном
закреплении стержня

 

Невесомый жесткий стержень. Невесомым называется стержень, массой которого можно пренебречь. Связь выполняется с помощью жесткого стержня, концы которого закреплены шарнирно, например, как стержни АВ и CD на рис. 1.2. Реакции RA и RB направлены вдоль прямой, соединяющей центры шарниров.

Гладкая поверхность. Поверхности называют гладкими, если силами трения, возникающими в точках их контакта, можно пренебречь. Реакция R гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям тел в точке их касания и приложена в той же точке (рис. 1.3, а).

Если одна из соприкасающихся поверхностей является точкой, имеет заострение или ребро, то реакция RA (RB или RC) направлена по нормали к другой поверхности (рис.1.3, б).

 

рис1

 

Рис. 1.3. Реакции при свободном опирании тел

 

Шероховатая поверхность (рис. 1.4). Направление реакции R такой связи заранее неизвестно, поэтому обычно определяют две ее составляющие: нормальную реакцию Rn и касательную — силу трения Ff:

 

.                                  (1.1)

 

 

Рис. 1.4. Нормальная реакция Rn шероховатой поверхности и сила трения Ff

 

Сила трения действует в плоскости, касательной к соприкасающимся поверхностям в точке их контакта, и направлена в сторону, противоположную той, куда активные силы стремятся сдвинуть тело. Сила трения может принимать любые значения от нуля до максимального значения, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия:

 

.                               (1.2)

Максимальная сила трения скольжения равна произведению статического коэффициента трения f на нормальную реакцию:

 

.                                 (1.3)

 

При скольжении одного тела по поверхности другого сила трения направлена в сторону, противоположную направлению движения, и равна произведению динамического коэффициента трения fv на нормальную реакцию:

 

.                                    (1.4)

 

Значения коэффициентов трения для различных материалов приводятся в справочниках.

При практических расчетах рассматривают предельное равновесие тела, когда сила трения равна Ffmax. При этом уравнения равновесия дополняют равенством (1.3).

Определив реакции связей из уравнений равновесия тела, получают исходные данные, необходимые, например, для расчета элементов конструкции на прочность.

Заделки. Глухая заделка, или жесткое защемление (рис. 1.5, а), исключает любые перемещения тела. Примером такой связи является соединение двух стержней с гарантированным натягом. При действии на балку плоской системы сил в заделке возникают пара сил с реактивным моментом MA и произвольно направленная реакция RA с составляющими RAX и RAY.

Скользящая заделка (рис. 1.5, б) допускает осевое перемещение стержня, система реакций состоит из силы RA и пары сил с моментом MA.

Свободная заделка (рис. 1.5, в) не препятствует перемещениям стержней вдоль своих осей, но исключает возможность их поворота. Поэтому, если не учитывать массу балки, в такой заделке возникает только реактивный момент MA.

 

рис1

 

Рис. 1.5. Заделка глухая (а), скользящая, или подвижная (б), свободная (в),
их условные изображения и направления реакций при действии плоской
системы сил

 

Подвижный шарнир (шарнирно-подвижная опора). Нижняя обойма в опоре А (рис.1.6, а) установлена на цилиндрические катки. Поэтому балка АВ имеет возможность поворачиваться относительно оси шарнира и перемещаться вдоль опорной плоскости катков. Реакция связи RA направлена перпендикулярно к опорной плоскости катков.

Условные изображения шарнирно-подвижной опоры показаны на рис. 1.6, б.

 

рис1

 

Рис. 1.6. Шарнирно-подвижная опора:

а – схемы и направления реакций; б – условные изображения

 

Неподвижный шарнир (шарнирно-неподвижная опора). Такая опора состоит из двух обойм, между которыми расположен цилиндрический стержень. Одна обойма (рис. 1.7, а) закреплена на балке АВ, а другая - на неподвижном основании. Кроме того, шарнирное соединение может выполняться с помощью пальца О, вставленного в цилиндрические отверстия стержня С и опоры D (рис. 1.7, б). Балка АВ и стержень С могут только поворачиваться относительно оси шарнира. Другие перемещения исключены.

Направление реакции связи заранее неизвестно. Реакция связи действует в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Для неподвижного шарнира она может быть представлена двумя составляющими по координатным осям:

 

.                               (1.5)

 

Условные изображения шарнирно-неподвижной опоры показаны на рис. 1.7, в.

 

рис1

 

Рис. 1.7. Шарнирно-неподвижная опора:

а, б – схемы и направления реакций; в – условные изображения

 

Решение задач на равновесие геометрическим методом построением силовых многоугольников целесообразно лишь в том случае, если к телу приложено не более трех сил. Более удобным и универсальным методом решения задач на равновесие является аналитический метод. Он основан на составлении и решении уравнений равновесия. Для равновесия плоской системы сходящихся сил достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил на каждую ось координат равнялась нулю:

 

.                             (1.6)

 

В различных учебниках можно встретить и другие формы записи этих же уравнений. Например:

 и .                           (1.7)

 

В Международной системе единиц силы измеряются в ньютонах (Н). В ряде учебников и другой технической литературе встречается и другая единица измерения - килограмм-сила (кгс). В этом случае, при необходимости, приходится делать перевод старых единиц измерения в единицы СИ, пользуясь следующими соотношениями: 1кгс=9,81Н; 1тс=9,81кН (1кН=1000Н).

Напоминаем, что проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус ее острого угла с осью (рис. 1.8). Знак проекции (рис. 1.8) определяется совпадением направлений проекции и оси (направление проекции - от а к b).

 

рис

 

Рис.1.8. Проекция силы на ось

 

Обращаем внимание на возможность упростить решение подобных задач путем рационального выбора направления координатных осей.

Решив задачу аналитическим методом, следует затем проверить правильность решения:

а) с помощью графоаналитического метода (если система состоит из трех сил);

б) с помощью графического метода (если в системе более трех сил).

 

 

 

1.2. Определение усилий в стержнях фермы по способу вырезания узлов

 

Этот способ состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Так как в начале расчета фермы неизвестно, какие стержни фермы растянуты и какие сжаты, то условно предполагают, что все стержни растянуты (реакции стержней направлены от узлов).

Если в результате вычислений получают ответ со знаком «минус», то соответствующий стержень сжат.

Найденные реакции стержней равны по модулю внутренним усилиям в стержнях.

Последовательность рассмотрения узлов обычно определяется условием, что число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия сил (двух для плоской фермы и трех для пространственной). Тогда эти неизвестные определяются сразу из уравнений равновесия сил, действующих на этот узел.

Если ферма плоская, то можно проверить правильность вычислений, построив многоугольники сил, приложенных к ее узлам. Эти многоугольники должны быть замкнутыми.

Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы могут оказаться равными нулю. Такие стержни принято называть нулевыми. Рассмотрим леммы, пользуясь которыми можно определить нулевые стержни плоской фермы, не производя ее расчета.

рис1

 

Рис. 1.9. К лемме 1

Лемма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся два стержня, то усилия в этих стержнях равны нулю (рис. 1.9):

 

      

 

   

 

рис1

 

Рис. 1.10. К лемме 2

Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержня, из которых два расположены на одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Усилия в первых двух стержнях равны между собой (рис.1.10).

 

            

   и

 

рис1

 

Рис. 1.11. К лемме 3

Лемма 3. Если в узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю приложенной силе, а усилие в другом стержне равно нулю (рис. 1.11):

 

                

 

  

Вопросы для самопроверки

 

1. Что такое материальная точка?

2. Что такое абсолютно твердое тело?

3. Что такое сила?

4. Какими приборами измеряют численное значение силы?

5. Какими единицами измеряется сила в Международной системе (СИ)?

6. Что такое система сил?

7. Какие системы сил называются эквивалентными?

8. Что такое равнодействующая и уравновешивающая сила?

9. В чем сходство между равнодействующей и уравновешивающей сил и чем они друг от друга отличаются?

10. Сформулируйте первую, вторую, третью и четвертую аксиомы статики.

рис

 

Рис. 1.12. К вопросу 11

11. К двум различным точкам твердого тела (рис. 1.12) приложены две непараллельные, но действующие в одной плоскости силы. Можно ли для сложения этих сил применить правило параллелограмма?

 

 

12. Можно ли силу в 50 Н разложить на две силы, например, по 200 Н?

13. Сформулируйте пятую аксиому статики.

14. Какие разновидности связей рассматриваются в статике?

 

рис

рис

 

Рис. 1.13. К вопросу 15

 

Рис. 1.14. К вопросу 16

15. Изменится ли направление реакций связей, если, не меняя положение бруса А, изображенные на рис. 1.13, а опоры (связи) заменить опорами (связями), как показано на рис. 1.13, б? (Трение не учитывать, т. е. связи считать идеальными).

16. Почему со стороны неподвижного шарнира на брус действует только сила RA (реакция шарнира), а при жесткой заделке бруса на него действуют и сила RA, и реактивный момент MA заделки (рис. 1.14)?

17. Какая система сил называется сходящейся?

18. Как определить равнодействующую системы сходящихся сил путем построения силового многоугольника?

19. Сформулируйте геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил.

20. Какой из силовых многоугольников на рис. 1.15 относится к уравновешенной системе сходящихся сил?

 

рис

 

Рис. 1.15. К вопросу 20

 

21. Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной плоской системы сходящихся сил?

22. Сформулируйте теорему о равновесии трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости.

23. Невесомый груз нагружен силой F, как показано на рис. 1.16. Определите (воспользовавшись, если нужно, только калькулятором), под каким углом к брусу направлена реакция шарнира А. (Ответ: а) 45°; б) 145°).

рис

 

Рис. 1.16. К вопросу 23

 

24. Обязательно ли будет находиться в равновесии тело, если на него в одной плоскости действуют три силы и линии их действия пересекаются в одной точке?

 

Примеры

 

Пример 1. Стержни АС и ВС (рис. 1.17, а) соединены между собой шарниром С, а с вертикальной стеной посредством шарниров А и В. В шарнире С приложена сила F = 1260 Н. Требуется определить реакции N1 и N2 стержней действующие на шарнир С, если a = 30° и b = 60°.

Решение. Рассматриваем равновесие точки С, которая считается несвободной, так как на нее наложены связи в виде стержней АС и ВС. Освобождаем точку С от связей и заменяем их силами реакций связей, считая, что стержень АС растягивается, а стержень ВС сжимается под действием силы F. Обозначим реакцию стержня АС через N1, а реакцию стержня ВС через N2. В итоге точка С становится свободной, находясь под действием плоской системы трех сходящихся сил: активной силы F и сил реакций N1 и N2 (рис. 1.17, б). Приняв точку О за начало координат, перенесем силы F, N1 и N2 параллельно самим себе в эту точку (рис. 1.17, в) и составляем уравнения проекций сил на оси координат:

 

или

-                              (1.8)

и

.                             (1.9)

 

 

Рис. 1.17. К примеру 1

 

Умножим уравнение (1.8) на , получим

 

                                (1.10)

 

.                               (1.11)

 

 

После сложения уравнений (1.10) и (1.11) получим

 

 

откуда 2N2 = F или  Н. Из уравнения (1.8) получаем, что

 

 или  Н.

 

Графический метод. Для решения задачи этим методом выбираем масштаб силы F (например, 10 Н = 1 мм) и строим замкнутый треугольник сил (рис. 1.17, г). Из произвольной точки О проводим прямую, параллельную вектору F, и откладываем на этой прямой в выбранном масштабе вектор . Из конца вектора  (точка А) проводим прямую, параллельную вектору , а из точки О прямую, параллельную вектору . Пересечение этих прямых дает точку В. Получили замкнутый треугольник сил ОАВ, стороны которого в выбранном масштабе изображают силы, сходящиеся в точке С. Величины сил N1и N2 определим после измерения сторон АВ и ВО треугольника ОАВ.

Ответ: N1 = 1089,9 H; N2 = 630 H

 

Пример 2. К вертикальной стене АВ на тросе АС подвешен шар с центром О (рис. 1.18, а) и весом F = 120 Н. Трос составляет со стеной угол a = 30°. Определить реакции N натяжения троса и давления шара в точке D стены АВ.

 

 

 

 

 

 

 

рис

 

Рис. 1.18. К примеру 2

 

Решение. Рассмотрим равновесие точки О. Освобождая ее от связей (трос АС и стена АВ), получим в этой точке плоскую систему трех сходящихся уравновешенных сил: F, N и RD, при этом реакция N направлена по тросу, а реакция RD - перпендикулярно стене АВ. Приняв точку О за начало координат, перенесем в эту точку силы F, N и RD параллельно самим себе и спроецируем силы на оси Х и Y (рис. 1.18, б). Уравнения равновесия будут иметь вид

 

 

или

                           (1.12)

 

                            (1.13)

 

Из уравнения (1.13)

 Н = 138,6 Н.

 

Из уравнения (1.12)

 

 Н.

 

Ответ: N = 138,6 H; = 69,3 H.

 

Пример 3. Два жестких стержня АВ и АС имеют общую шарнирную точку А и шарнирные опоры В и С (рис. 1.19, а). Сила F = 500 Н приложена к шарнирному валику в точке А. Стержни АВ и АС образуют углы a по 30° с линией действия силы F. Определить усилия в стержнях.

 

а)                                 б)                                 в)

 

 

Рис. 1.19. К примеру 3

 

Решение. Сила F приложена в точке А, которая находится в равновесии под действием силы F и реакции стержней АВ и АС. Реакции стержней направлены вдоль их осей.

Рассмотрим равновесие точки А. Отбросив связи точки А и заменив их реакциями стержней АВ и АС (рис. 1.19, б), получим систему сходящихся сил. Из точки А проведём координатные оси. Ось Х направим перпендикулярно силе F. Составим уравнение равновесия (сумма проекций всех сил на ось Х равна нулю):

 

,

 

откуда

NAB = NAC.

 

Сумма проекций всех сил на ось Y также равна нулю:

 

,

 

откуда

Н.

 

В данном примере силы NAC и NAB получились со знаком «плюс» (+), следовательно, действительное направление сил совпадает с тем, которое предполагалось при составлении уравнения. Если сила получится со знаком «минус» (-), то это значит, что ее действительное направление противоположно тому, которое было намечено при составлении уравнений равновесия.

Мы определили величину, а также направление реакций стержней, приложенных к точке A. К верхним концам стержней приложены такие же по величине силы, но противоположно направленные. К нижним концам стержней приложены силы реакции опор В и С, равные по величине силам, приложенным к верхним концам, и направленные им навстречу (рис. 1.19, в). Следовательно, оба стержня сжимаются силами

 

NAC = NAB = 288,7 H.

 

Ответ: NAC = NAB = 288,7 H.

 

Пример 4. Определить силы, нагружающие стержни АВ и АС кронштейна, удерживающего в равновесии груз F = 6 кН и растянутую пружину, сила упругости которой F1 = 2 кН. Весом частей конструкции, а также трением на блоке пренебречь (рис. 1.20, а).

 

рис

 

Рис. 1.20. К примеру 4

 

Решение. Задачу решаем аналитическим методом. Рассматриваем равновесие точки схода А. К ней приложены заданные активные силы - сила натяжения троса АD, равная весу груза F, и сила упругости пружины F1. Так как и трос, и пружина растянуты, то эти силы направлены от точки А. Рассматривая точку A как свободную, отбрасываем связи (стержни АВ и АС), заменяя их действие реакциями NAB и NAC. Реакции стержней направляем от точки А, так как предварительно полагаем стержни растянутыми (действительные направления реакций стержней в начале решения неизвестны). Если наше предположение окажется неверным, то искомая реакция стержня получится в ответе со знаком «минус»; это говорит о том, что стержень сжат и истинное направление реакции - к точке А. Полученная расчетная схема изображена на рис. 1.20, б.

Принимаем обычное вертикально-горизонтальное направление координатных осей. Для полученной плоской системы сходящихся сил составляем два уравнения равновесия:

 

1)

2)

Решая полученную систему уравнений, находим  и  Искомые силы, нагружающие стержни, по модулю равны найденным реакциям стержней, а по направлению противоположны им. Замечаем, что в соответствии с изложенным правилом стержень АВ оказался растянутым, а стержень АС - сжатым.

Следует отметить, что каждое из полученных уравнений равновесия содержало оба неизвестных, чего можно избежать, направив координатные оси по-другому совместив одну из осей с неизвестной силой (рис. 1.20, в). При этом в уравнении равновесия для другой оси окажется лишь одно неизвестное:

 

 

 

 

откуда

 и

 

Для проверки правильности решения применяем графический метод - в выбранном масштабе строим замкнутый силовой многоугольник (рис. 1.20, г). От произвольной точки откладываем вектор заданной силы F1, от конца вектора  - вектор заданной силы .

Затем через начало и конец вектора проводим известные направления искомых реакций стержней АВ и АС. Стрелки, изображающие направления сил NAB и NAC, ставим таким образом, чтобы в векторном многоугольнике было единое направление обхода - в данном случае против часовой стрелки. Измеряя искомые векторы с учетом принятого масштаба, получаем  и . (Точность графического решения будет тем выше, чем крупнее принят масштаб построения). Следует отметить, что векторный многоугольник показывает действительное, а не предполагаемое направление искомых сил.

Ответ: ;

Пример 5. Определить силу натяжения троса, удерживающего в равновесии шар весом G = 20 Н, а также силу давления шара на наклонную опорную плоскость (рис. 1.21, а).

Решение. Задачу решаем аналитическим методом. К шару приложена заданная активная сила - вес шара G. Отбрасываем связи (трос ВС и опорная плоскость), заменяя их действие реакциями NBC, RA. Реакцию растянутого троса направляем от шара, а реакцию опорной плоскости - по нормали к ней в сторону к шару (рис. 1.21, б). Рассматриваем равновесие точки О схода всех сил. Полученная расчетная схема изображена на рис. 1.21, в.

 

 

Рис. 1.21. К примеру 5

 

Принимаем обычное вертикально-горизонтальное направление координатных осей. Для полученной плоской системы сходящихся сил составляем два уравнения равновесия:

 

1)

2)

Решая полученную систему уравнений, находим  и  Искомая сила натяжения троса и сила давления шара на плоскость соответственно равны найденным реакциям, а по направлению противоположны им.

Решение задачи при другом, более рациональном направлении координатных осей советуем выполнить самим учащимся.

Для проверки правильности решения применяем графоаналитический метод - строим замкнутый силовой треугольник (рис. 1.21, г). От произвольной точки откладываем вектор заданной силы G, через начало и конец которого проводим известные направления искомых реакций троса и опоры. Построенный графическим методом силовой треугольник решаем аналитическим методом - здесь удобно применить известную из математики теорему синусов:

 

 

 

Решая пропорции, получаем

 

 кН;

 

 кН.

 

Применение графоаналитического метода решения целесообразно лишь для системы, состоящей из трех сил.

 

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 6. Определить усилия в стержнях АВ и ВС (рис. 1.22, а), если сила F, действующая на шарнир В, равна 50 кН; вес груза G = 60 кН.


а)                                                        б)

 

Рис. 1.22. К примеру 6

 

Решение. Задачу решаем аналитическим методом. К шарниру приложены активные силы вес груза G и сила F. Отбрасываем связи (стержни АВ и ВС), заменяя их действие реакциями NАВ и NВС. Реакции стержней направляем от точки В к точкам А и С соответственно, так как предварительно полагаем стержни растянутыми (действительные направления реакций стержней в начале решения неизвестны). Если наше предположение окажется неверным, то искомая реакция стержня получится в ответе со знаком «минус»; это говорит о том, что стержень сжат и истинное направление реакции противоположно. Рассматриваем равновесие точки В схода всех сил. Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей совпала с неизвестной силой. Полученная расчетная схема изображена на рис. 1.22, б.

Для полученной плоской системы сходящихся сил составляем два уравнения равновесия:

 

1)

2) .

 

Решая систему, получаем:

 

 кН;

 

 

 кН.

 

Искомые силы, нагружающие стержни, по модулю равны найденным реакциям стержней, а по направлению противоположны им. Замечаем, что в соответствии с изложенным правилом стержни ВА и ВС оказались растянутыми.

Проверка. Так как шарнир В находится в равновесии, то

 

 

 

.

 

Мы получили верное равенство, значит, задача решена верно.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 7. Определить силу давления ступенчатой колонны (рис. 1.23, a) на горизонтальную опору и силы взаимодействия частей колонны по сечению А-А. Сила тяжести (вес) верхней части колонны F1 = 30 кH, нижней F2 = 60 кН.

Решение. По условию задачи надо рассмотреть равновесие колонны. Точки приложения сил F1 и F2 - в центре тяжести каждой части колонны. Действуют эти силы по одной вертикальной прямой - вниз, их модули заданы.

Опора колонны - горизонтальная плоскость, препятствующая ее перемещению по вертикали вниз. Действие опоры заменяем реакцией R, направленной вертикально вверх (рис. 1.23, б). Рассматриваемое тело находится в равновесии под действием трех сил, направленных по одной прямой. Для определения неизвестной силы реакции опоры применим уравнение равновесия.

Удобнее всего расположить оси координат таким образом, чтобы одна ось совпадала по направлению с силами R, F1 и F2, тогда получится одно уравнение равновесия (на ось X все силы проектируются в точку):

 

следовательно,

R = F1 + F2 = 30 +60 =90 кН.

рис

а)                 б)                 в)                г)

 

Рис. 1.23. К примеру 7

 

Сила давления колонны на опору R' (в соответствии с аксиомой о том, что действие равно противодействию) равна по модулю реакции R, но направлена в противоположную ей сторону - вниз (рис. 1.23, в). Чтобы определить силы взаимодействия частей колонны по сечению А-А, мысленно разделим обе части колонны и действие одной части на другую заменим силами, как показано на рис. 1.23, г.

Рассмотрим равновесие одной части колонны, например верхней:

 

 кН.

На основании аксиомы о равенстве действия и противодействия сила  кН. Тот же результат получится, если рассмотреть равновесие нижней части колонны:

 

 

NA = R - F2 = 90 - 60 = 30 кH.

 

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 8. Определить опорные реакции, возникающие при действии на брус силы F = 50 кН (силой тяжести бруса можно пренебречь). Расстояние между опорами  = 2 м. Сила приложена посредине между опорами под углом 45° к оси бруса в точке D (рис. 1.24, а).

 

рис

 

Рис. 1.24. К примеру 8

 

Решение. Рассмотрим равновесие бруса, опирающегося на вершину угла В и шарнир А. Действие опор заменим реакциями. Направление опорной реакции RB перпендикулярно опорной плоскости. Точка С - пересечение линии действия силы F и направления опорной реакции RB.

Направление опорной реакции A определяется на основании того, что тело может находиться в равновесии под действием трех непараллельных сил только в случае, если линии действия всех трех сил пересекаются в одной точке. Следовательно, опорная реакция шарнира A - RA будет направлена по линии АС. Так как тело находится в равновесии под действием трех сил, силовой треугольник должен быть замкнутым (геометрическое условие равновесия). На рис. 1.24, б выполнено построение силового треугольника и графически определены опорные реакции RA и RB.

Масштаб построения силового треугольника  = 1 кН/мм, т. е. 1 мм соответствует силе в 1 кН. Для определения сил следует длину стороны треугольника умножить на масштаб:

 

 

 

Графическое решение можно проверить вычислением. Для этого надо найти стороны ab и bc силового треугольника abc. Прежде всего определим углы a и b.

Угол a можно определить из треугольника саb (рис. 1.24, б). Согласно построению этот треугольник прямоугольный, а из треугольника CBD видно, что CB = BD = l / 2 = 1 м. Следовательно, можно написать  ис. 1.24, б), отсюда a = 26°30' и угол b = 180° - 45° - 90° - a = 45° - 26°30' = 18°30'.

На основании теоремы синусов для треугольника abc можно написать:

 

 кН;

 кН.

 

Небольшое расхождение в величине опорных реакций объясняется меньшей точностью графического метода решения.

 

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 9. Определить реакции стержней АВ и СВ, общий шарнир В которых нагружен, как показано на рис. 1.25, а, силами F1 = 0,5 кН и F2 = 1 кН.

 

            а)                             б)                              в)

рис

 

Рис. 1.25. К примеру 9

 

Решение

1. Выделим точку, равновесие которой следует рассмотреть, чтобы определить неизвестные реакции стержней. Здесь такой точкой является шарнир В. Изобразим его отдельно на рис. 1.25, б.

2. Изобразим действующие на точку В активные силы (нагрузки) F1 и F2, действующие на шарнир В вдоль нитей, к которым прикреплен каждый из грузов.

3. Мысленно освободим шарнир В от связей (стержней) и заменим действие связей их реакциями NA и NC, направленными вдоль стержней ВА и ВС соответственно. Не всегда заранее можно определить, какой из стержней растянут или сжат. Например, в данном случае груз F1 сжимает стержень ВА и растягивает стержень BC, а груз F2 - наоборот: растягивает стержень ВА и сжимает стержень ВС. Поэтому существует общепринятое правило считать предположительно все стержни растянутыми. В соответствии с этим правилом реакции NA и NB стержней на рис. 1.25, б направлены от шарнира В к связям.

4. Приняв точку В за начало координат, выберем положение осей Х (ось абсцисс) и Y (ось ординат) таким образом, чтобы по крайней мере одна из них совпала с линией действия неизвестной силы, т. е. совместив одну из осей координат с осью какого-либо стержня. В данном случае (рис. 1.25, б) ось Х совмещена с осью стержня АВ (можно было бы ось Y совместить с осью стержня ВС).

5. Определив при помощи данных на рис. 1.25, а углы, образуемые силами F1, F2, NA, NC с осями Х и Y, определим проекции всех сил на каждую из осей и составим из этих проекций уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил:

 

(1.14)

 

    (1.15)

 

6. Решаем получившуюся систему уравнений. Благодаря тому, что ось Х совпадает с осью стержня АВ, ось Y перпендикулярна к этому стержню. Проекция NA (реакция стержня АВ) на ось Y равняется нулю, и второе уравнение содержит только одно неизвестное.

Из уравнения (1.15) имеем:

 

 кН.

 

Знак «минус» перед численным значением NC показывает, что вектор NC (рис. 1.25, б) должен быть направлен в противоположную сторону, т. е. стержень ВС не растянут, как предполагалось, а сжат силой 0,315 кН (315Н).

Изуравнения (1.14) имеем:

 

откуда NA = 0,6 кН.

Численное значение NA положительно, значит, предположительно выбранное направление вектора NA соответствует действительному и стержень ВА растянут силой 0,6 кН (600 Н).

7. Решение задачи обязательно следует проверить. Лучшим способом проверки может быть либо решение с помощью иного выбора осей координат (решите эту задачу, совместив ось Y с осью стержня ВС), либо решение задачи иным методом, например, графически.

Графическое решение задачи (оно показано на рис. 1.25, в) выполнять очень просто с помощью линейки с миллиметровой шкалой и транспортира. Из произвольной точки а откладываем вертикально вниз (так направлена сила F1) вектор ab, который в некотором масштабе mсил = F1 / ab, кН/мм, изображает силу F1. Из точки b параллельно действию силы F2 на шарнир В в том же масштабе откладываем вектор bc, изображающий силу F2 (bc = mсилF2). Затем из точек а и с проводим прямые, параллельные соответственно стержню АВ и стержню ВС. Эти прямые пересекаются в точке d. Образовался замкнутый многоугольник abcda, в котором сторона cd изображает реакцию стержня ВС, а сторона da - реакцию стержня ВА (). Причем стрелки у этих сторон показывают, который из стержней сжат или растянут.

 

Ответ: NA = 0,6 кН; NC = 0,315 кН.

 

 

 

Пример 10 (рис. 1.26, а). Определить силу F, при которой цилиндр весом 500 Н начнет вкатываться на наклонную плоскость, а также реакцию наклонной плоскости. Трением пренебречь. Указание: в момент начала вкатывания цилиндр отрывается от горизонтальной опорной плоскости.

 

 

            а)                        б)                               в)

рис

 

Рис. 1.26. К примеру 10

 

Решение. Освобождаем тело (цилиндр) от связей (наклонная плоскость), заменяя их действие на тело реакциями G и R (рис. 1.26, б). Рассмотрим равновесие точки О. В этой точке получим плоскую систему трёх сходящихся уравновешенных сил: F, G и R, при этом реакция R направлена перпендикулярно наклонной плоскости (рис. 1.26, в). Приняв точку О за начало координат, перенесём в эту точку силы F, G и R параллельно самим себе и спроецируем силы на оси X и Y. Уравнения равновесия будут иметь вид

 

 ;                     (1.16)

 

 .                         (1.17)

 

Выразив из найденного уравнения (1.17) неизвестное R, получим

 

 Н.

 

Тогда, подставив значение R в уравнение (1.16), получим

 

 Н.

 

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 11 (рис. 1.27, а). Кулачковый механизм состоит из кулачка треугольной формы, движущегося равномерно под действием силы F = 80 Н и получающего вертикальное перемещение толкателя с роликом на конце. В данном положении механизма ролик касается гипотенузы в ее середине. Определить реакцию горизонтальной опорной поверхности и силу давления кулачка на ролик. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.

Решение. Освобождаем тело (кулачок) от связей (толкатель с роликом и опорная поверхность), заменяя их действие на тело реакциями (рис. 1.27, б) и рассмотрим равновесие точки D. Получим в ней плоскую систему трёх сходящихся уравновешенных сил: F, RD, и ROП, при этом реакция ROП направлена перпендикулярно опорной поверхности, а реакция RD - перпендикулярно гипотенузе кулачка (рис. 1.27, в). Принимаем точку D за начало координат и переносим в эту точку силы F, RD и ROП, спроецировав их на оси X и Y. Уравнения равновесия будут иметь вид

 

 ;                   (1.18)

 

 .                   (1.19)

 

рис

 

Рис. 1.27. К примеру 11

 

Из уравнения (1.18)

 

 Н.

 

Из уравнения (1.19)

 

 Н.

 

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 12 (рис. 1.28, а). Груз F = 17 кН равномерно поднимается с помощью троса, перекинутого через блок B и наматываемого на барабан D лебедки. Определить силы, нагружающие стержни АВ и СВ кронштейна. Радиусом блока, весом частей конструкции и трением на блоке пренебречь.

 

рис

 

Рис. 1.28. К примеру 12

 

Решение. Сила F приложена в точке B. Реакция стержня АВ направлена вдоль её оси, а стержня ВС – по оси к точке С (рис. 1.28, б).

Рассмотрим равновесие точки В. Отбросив связи точки В и заменив их реакциями силы F и стержней АВ и ВС, получим систему сходящихся сил с началом координат в точке В (рис. 1.28, в). Составим уравнения равновесия:

 

 ,

откуда

.                (1.20)

 

 ,

откуда

  Н кН.

 

Подставляем полученное значение  в уравнение (1.20):

 

    Н=17 кН.

 

Ответ:  кН;  кН.

 


Пример 13 (рис. 1.29, а). Под действием расположенной параллельно наклонной плоскости сжатой пружины, сила упругости которой равна 3 Н, шарик перекрывает проходное отверстие пневматического клапана. Определить силу F давления сжатого воздуха, при которой проходное отверстие откроется, а также реакцию наклонной опорной поверхности. Весом частей механизма, а также трением пренебречь. Указания: в момент начала отжатия шарик отрывается от стенок проходного отверстия.

 

 

Рис. 1.29. К примеру 13

 

 

Решение. Освобождаем тело (шарик) от связей (опорная поверхность и пружина), заменяя их действие на тело реакциями R и Fупр (рис. 1.29, б). Рассмотрим равновесие точки О, получим в ней плоскую систему трех сходящихся уравновешенных сил: F, R и Fупр, при этом реакция R направлена перпендикулярно наклонной плоскости. Принимаем точку О за начало координат и, перенеся в эту точку силы F, R и Fупр, проецируем их на оси X и Y (рис. 1.29, в). Уравнение равновесия запишется в виде

 

 .           (1.21)

 

 .                (1.22)

 

Из уравнения (1.22)

 

 Н.

 

Из уравнения (1.21)

 

 Н.

 

Ответ:  Н;  Н.

 

 

 

Пример 14 (рис. 1.30, а). Груз весом G = 6 кН с помощью наматываемого на барабан троса равномерно перемещается вниз по наклонной плоскости. Приняв силу сопротивления движению (силу трения) Fтр = 0,16 G, определить силу натяжения троса, а также нормальную реакцию опорной плоскости.

                                        Рис. 1.30. К примеру 14

 

Решение. Освобождаем тело (груз) от связи (наклонная плоскость), заменяя её действие на тело реакцией R (рис. 1.30, б). Рассмотрим равновесие точки М и получим в ней плоскую систему четырех сходящихся уравновешенных сил: G, R, Fтр и N. Так же мы освобождались и от связи троса N. Точку М принимаем за начало координат, перенеся в эту точку силы G, R, Fтр и N параллельно самим себе и спроецировав их на оси X и Y, при этом реакция N направлена по тросу, а реакция R – перпендикулярно наклонной плоскости (рис. 1.30, в). Ось X направляем вдоль реакции N. Составим уравнения равновесия:

 

 ,

откуда

 Н;

 

 ,

откуда

 Н.

 

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 15 (рис. 1.31, а). Определить силы, нагружающие стержни АВ и СВ кронштейна, удерживающего груз F = 11 кН. Весом частей конструкции пренебречь.

 

 

Рис. 1.31. К примеру 15

 

Решение. Сила F приложена к точке В. Отбрасываем связи от точки В, заменяем их реакциями стержней АВ и СВ, направленными вдоль их осей (рис. 1.31, б), и получаем систему сходящихся сил (рис. 1.31, в). Точка В является началом координат. Ось X направляем перпендикулярно реакции NAB. Составим уравнения равновесия:

 

 .                  (1.23)

 .            (1.24)

 

Из уравнения (1.23)

 

        

 =19052,56 Н кН.

 

Из уравнения (1.24)

 

        = Н=11 кН.

 

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 16 (рис. 1.32, а). Из-за разной длины стропильных тросов АВ и СВ равномерный подъем трубы АС весом 3 кН происходит с перекосом, причем трос СВ оказался расположенным горизонтально. Определить силы натяжения стропильных тросов. Указание: центр тяжести трубы лежит на вертикали, проходящей через точку В.

 

рис

 

Рис. 1.32. К примеру 16

 

 

Решение. Освобождаем тело (крюк) от связей (стропильные тросы АВ и АС), заменяя их действие на тело реакциями  и  (рис. 1.32, б). Рассмотрим равновесие точки В, получим в этой точке плоскую систему трёх сходящихся сил: ,  и NСВ и спроецируем  их на оси X и Y (рис. 1.32, в). Уравнения равновесия будут иметь вид

 

 .                 (1.25)

 

 .                   (1.26)

 

Из уравнения (1.26)

 

 Н = 6 кН.

 

Из уравнения (1.25)

 

Н

 

 кН.

 

Ответ:  кН;  кН.

 

 

 

Пример 17 (рис. 1.33, а). С помощью опорного троса АВ и двух блоков удерживаются в равновесии три груза. Определить вес груза  и силу натяжения опорного троса, если  = 5 кН и  = 7 кН. Трением на блоках пренебречь.

 

 

Рис. 1.33. К примеру 17

 

Решение. Рассмотрим равновесие точки схода В. К ней приложены силы  и , направленные от точки. Освобождаем точку В от связи (трос АВ), при этом реакция NАВ направлена вдоль троса (рис. 1.33, б). В точке В получим плоскую систему четырех сходящихся уравновешенных сил: NАВ, ,  и  (рис. 1.33, в). Точка В является началом координат. Спроецируем силы на оси X и Y. Составим уравнения равновесия:

 ,

откуда

 ,

 

откуда

 

 

Ответ:  кН;  кН.

 


Пример 18 (рис. 1.34, а). Тело весом G = 4 Н под действием горизонтальной силы F равномерно перемещается вверх по наклонной плоскости. Приняв силу сопротивления движению (силу трения) Fтр = 0,13 G, определить значение силы F, а также нормальную реакцию опорной плоскости.

 

Рис. 1.34. К примеру 18

 

Решение. Освобождаем тело от связи (наклонная плоскость), заменяя её действие на тело реакцией R (рис. 1.34, б). Рассмотрим равновесие точки М и получим плоскую систему четырех сходящихся уравновешенных сил: R, F, G и Fтр. При этом реакция R направлена перпендикулярно наклонной плоскости. Приняв точку М за начало координат, перенесём в эту точку силы R, F, G и Fтр и спроецируем их на оси X и Y (рис. 1.34, в). Ось X направим перпендикулярно реакции R. Составим уравнения равновесия:

 

 ;             (1.27)

 

 .                (1.28)

 

Из уравнения (1.27)

 

Н

 

Из уравнения (1.28)

Н.

 

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 19 (рис. 1.35, а). Четыре стержня, приваренные к косынке, образуют узел фермы строительной конструкции. Стержень 2 расположен вертикально. Силы в стержнях 1 и 2 известны и равны соответственно  = 12 кН и  = 7 кН. Определить силы  и  в стержнях 3 и 4. Весом частей конструкции пренебречь.

 

 

Рис. 1.35. К примеру 19

Решение. К косынке приложены четыре активные силы: , ,  и  (рис. 1.35, б). Рассмотрим равновесие точки А. Получаем плоскую систему сходящихся уравновешенных сил. Приняв точку А за начало координат, перенесём в неё силы , ,  и  и спроецируем их на оси X и Y (рис. 1.35, в). Ось X направим вдоль стержней 1 и 4, которые лежат на одной прямой. Составим уравнения равновесия:

 

                  (1.29)

 

           .                         (1.30)

 

Из уравнения (1.30)

 

 кН.

 

Из уравнения (1.29)

 

 

 

 

 

 


  =5 кН.

 

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 20. Определить по способу вырезания узлов усилия в стержнях фермы, изображенной на рис. 1.36, а, если к узлу Е фермы приложена вертикальная сила F = 60 кН.

 

в)

 

а)                                            б)

 
рис1

Рис. 1.36. К примеру 20

 

Решение. Так как сила F = 60 кН, приложенная к узлу Е фермы, вертикальна и реакция шарнирно-подвижной опоры В, перпендикулярная к опорной плоскости, тоже вертикальна, то линия действия реакции шарнирно-неподвижной опоры А должна быть параллельна им, т. е. тоже должна быть вертикальна. Согласно этому примечанию для трех параллельных взаимно уравновешивающихся сил RA, RB и F имеем:

 

 кН;

 

откуда

 кН и  кН.

 

Составим по два уравнения равновесия сил, приложенных к каждому из узлов фермы (рис. 1.36, б), и для проверки правильности произведенных вычислений построим многоугольники сил, которые должны быть замкнутыми. При построении многоугольников все силы отложим в некотором масштабе по их истинным направлениям, соответствующим растяжению или сжатию, руководствуясь результатами вычислений (рис. 1.36, в).

Расчет начнем с узла А, к которому приложены лишь две неизвестные силы N1 и N2.

 

Узел А

 

 

 

 

 

 кН;

 кН.

 

Узел С

 

 

 

 

 

 кН;  кН.

 

Узел E

 

 

 

 

 

 кН;

 кН.

 

Узел F

 

   кН.

 

 

Узел В

 

 

  кН.

 

Результаты расчётов сводим в табл. 1.1.

 

 

Таблица 1.1

 

 

Результаты расчётов

 

№ стержня

1

2

3

4

5

6

7

8

9

N, кН

-80

69,2

40

-69,2

40

34,6

0

34,6

-40

 

 

Приведенная табл. 1.1 усилий показывает, что верхний пояс фермы сжат, нижний - растянут.

 

Пример 21. Пример имеет своим прототипом схему по расчёту усилий в раскосах и поясах мачтовых опор ЛЭП.

Для фермы (рис. 1.37, а) определить усилия в стержнях, если в узле Е приложена сила F = 1800 Н, в узле С – сила 2F, а угол a = 37° (sin a = 0,6 и cos a = 0,8).

Размеры стержня указаны на чертеже.

 

 

Рис.1.37. К примеру 21

 

Решение. Освобождаемся от связей, заменяя их реакциями опор. На ферму действует плоская система произвольно расположенных сил. Реакции опор соответственно будут RA = 2F и RB = F.

Применяя лемму 2 о нулевых стержнях плоской фермы сначала к узлу G , а затем к узлу K определяем, что  и .

 Обратимся к определению усилий в стержнях фермы способом вырезания узлов. Определение усилий начинают с узла, в котором сходятся только два стержня (узлы A и B). В дальнейшем выбирают такие узлы фермы, в которых также будут неизвестными два усилия, и так до тех пор, пока не будут определены усилия во всех стержнях фермы.

Узел А. Вырезав узел (рис. 1.37, б), приложим к нему неизвестные усилия N1 (в стержне 1), N2 (в стержне 2) и реакцию опоры в точке А - RA. В итоге на узел действует плоская система трех сходящихся сил. Для определения неизвестных усилий N1 и N2 составим уравнения равновесия:

Неизвестные усилия будем всегда принимать растягивающими - усилия направлены от узла. Если в результате вычисления усилие окажется отрицательным, то принятое направление усилия следует заменить на обратное (сжатие).

Выберем систему координат через точку А так, чтобы ось Х совпадала с линией действия усилия N1. В этом случае уравнения равновесия принимают вид

,

откуда

 Н (сжатие).

Знак «минус» для усилия N2 указывает на то, что стержень не растянут, а сжат (следует изменить на рис. 1.37, б направление усилия N2). После этого изменения уравнение åХ = 0 принимает вид , откуда , или  Н (растяжение).

Узел С. Вырезав узел (рис. 1.38, а), приложим к нему неизвестные усилия N3 (в стержне 3) и N9 (в стержне 9). В итоге в узле С действует плоская система четырех сходящихся сил, из которых неизвестными усилиями являются N3 и N9. Выбрав через точку С систему координат Х и Y, напишем уравнения равновесия: åХ = 0; N3 - N1 = 0, откуда N3 = N1 = 4800 Н (растяжение); åY = 0; N9 - 2F = 0, откуда N9 = 2F = 3600 Н (растяжение).

Узел D. Вырезав узел (рис. 1.38, б), приложим к нему неизвестные усилия N4 (в стержне 4) и N10 (в стержне 10). В итоге в узле D действует плоская система четырех сходящихся сил, из которых неизвестными являются усилия N4 и N10.

 

    а)                                      б)

 

Рис. 1.38. К примеру 21

 

Выберем через точку D систему координат Х и Y так, чтобы ось Х проходила по стержню 4, уравнения равновесия принимают вид

 

 

или

,

или

 Н (сжатие).

 

Направление усилия N10 следует изменить на обратное (рис. 1.38, б).

 

или

,

 

N4 = -3000 Н (сжатие).

 

Направление усилия N4 также следует изменить на обратное (рис. 1.38, б).

Узел Е. Вырезав узел (рис. 1.39, а), приложим к нему неизвестные усилия N6 (в стержне 6) и N11 (в стержне 11). В итоге в узле Е действует плоская система четырех сходящихся сил: F, N4, N6, N11. Через точку Е проводим систему координат X и Y так, чтобы ось Y проходила по стержню 11. Составляем уравнения равновесия:

 

откуда

 Н (сжатие)

 

откуда

 (растяжение).

 

 

Рис. 1.39. К примеру 21

 

Направление усилия  следует направить в обратную сторону (см. рис. 1.39, а).

Узел F. Вырезав узел (рис. 1.39, б), приложим к нему неизвестное усилие  (в стержне 5). В итоге в узле F получаем плоскую систему четырех сходящихся сил, из которых неизвестным усилием является . Выбрав через точку F систему координат X и Y, напишем уравнение равновесия:

 

,

откуда

 Н (растяжение).

 

Узел К. Вырезав узел (рис. 1.40, а), приложим к нему неизвестное усилие  (в стержне 8). В итоге в узле F получаем плоскую систему двух сходящихся сил: N6 и N8. Через точку К проводим систему координат X и Y. Составляем уравнение равновесия:

 

откуда

Н (сжатие).

 

 

 

Рис. 1.40. К примеру 21

 

Узел G. Вырезав узел (рис. 1.40, б), приложим к нему неизвестное усилие  (в стержне 7). В итоге в узле G получаем систему двух сходящихся сил с неизвестным усилием N7. Выбрав через точку G систему координат X и Y, запишем уравнения равновесия:

 

 

откуда

 Н (растяжение).

 

Таблица 1.2

 

Результаты расчётов

 

№ стержня

1

2

3

4

5

6

7

N, H

4800

-6000

4800

-3000

2400

-3000

2400

№ стержня

8

9

10

11

12

13

 

N, H

-3000

3600

-3000

1800

0

0

 

 

Пример 22. Применить леммы о нулевых стержнях к определению незагруженных стержней ферм, изображенных вместе с действующими на них внешними силами и реакциями опор (рис. 1.41 - 1.45).

 

рис1

рис1

 

Рис. 1.41. К примеру 22

 

Рис. 1.42. К примеру 22

 

Применяя лемму 2 к узлу D фермы, изображенной на рис. 1.41, устанавливаем, что N3 = 0. Мысленно отбрасывая стержень 3, применяем эту же лемму к узлу C и находим, что N5 = 0. Рассматривая ферму, изображенную на рис. 1.42, применяем лемму 1 к узлу E и заключаем, что N1 = 0 и N2 = 0. Затем применяем лемму 3 к узлу D и устанавливаем, что N4 = 0.

На рис. 1.43 рассматриваем узлы C, D, E и находим: N11 = 0, N9 = 0, N3 = 0. Рассматривая узлы C и D (рис. 1.44), можно заключить, что N11 = 0 и N9 = 0.

 

рис1

рис1

Рис. 1.43. К примеру 22

Рис. 1.44. К примеру 22

 

Рассматривая последовательно узлы C - M фермы, изображенной на рис. 1.45, находим:

 

N15 = 0; N13 = 0; N11 = 0; N9 = 0; N7 = 0; N5 = 0; N3 = 0.

 

рис1

 

Рис. 1.45. К примеру 22

 

Задачи к заданиям

 

Задача 1. Определить аналитически усилия N1 и N2 в стержнях 1 и 2 узла фермы (рис. 1.46). Исходные данные, необходимые для решения своего варианта задачи, выбрать из табл. 1.3 (силы F заданы в килоньютонах, углы a - в градусах).

 

Таблица 1.3

 

Исходные данные к задаче 1

 

варианта

F

F'

F1

F2

F3

a1

a2

a3

a4

a

1

10,4

9,4

6,8

4,2

5,2

10

60

45

60

40

2

10,8

9,6

5,0

4,4

5,4

15

45

35

50

45

3

12,2

9,8

4,2

4,6

5,6

35

50

55

55

40

4

12,6

10,0

7,8

4,8

5,8

15

30

60

45

55

5

13,0

10,4

8,0

5,0

6,0

10

45

50

70

50

6

12,8

8,2

5,4

5,2

6,2

15

60

40

60

40

7

12,4

8,6

6,0

5,4

6,4

10

35

45

65

45

8

12,0

9,2

7,0

5,6

6,8

45

50

40

55

40

9

11,6

10,2

7,2

5,8

6,6

10

30

60

40

60

10

11,4

10,6

7,6

6,0

7,0

15

35

50

75

50

 

 

рис

 

Рис. 1.46. К задаче 1

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Стержни АВ и СВ соединены шарниром В, на ось которого действуют две нагрузки F1 и F2, как показано на рис. 1.47. Крепления стержней в точках А и С шарнирные. Определить усилия в стержнях. Аналитическое решение проверить графическим построением. Схемы нагружения стержней в задачах и числовые значения сил F1 и F2 для своего варианта взять из табл. 1.4.

 

Таблица 1.4

 

Исходные данные к задаче 2

 

№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

, кН

0,4

0,3

0,6

0,2

0,5

0,8

0,4

1,2

0,8

0,9

F2, кН

0,5

0,8

0,4

0,5

0,8

0,4

0,2

0,8

1,0

0,6

 

рис

 

Рис. 1.47. К задаче 2

 

рис

 

Рис. 1.47(окончание). К задаче 2

 

Задача 3. Для заданных плоских ферм, к узлам которых приложены силы F, определить реакции в опорах и усилия во всех стержнях. Для решения использовать метод вырезания узлов. Схемы ферм и данные к задаче - см. рис. 1.48 и табл. 1.5.

 

Таблица 1.5

 

Исходные данные к задаче 3

 

№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

, кН

8

7

10

5

12

8

5

4

10

6

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 1.48